[고등 수학] 고급수학 상위권 문제 및 정답

[고등 수학] 고급수학 상위권 문제 및 정답

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1. 정수 학습 목표 1. , . 합동의 개념을 이해하고 약수와 배수의 성질을 이해한다 2. . 간단한 합동방정식과 정수방정식의 풀이를 이해하고 활용한다 3. , . 잉여류의 연산에 대하여 알아보고 오일러의 정리를 이해하고 활용한다 1.1 합동과 그 성질 생각열기____ 3월 달력에서 화요일인 어느 날짜의 수와 목요일인 어느 날짜의 수의 합에 해당하는 날짜는 무슨 요일인가? 날짜를 바꾸어서 합하여 보아라. 어떤 공통점을 찾을 수 있는가? 합동의 개념은 정수의 성질을 이해하는 가장 중요한 도구 중의 하나일 뿐만 아니라 암호에 응용되기도 한다. 이 절에서 우리는 합동의 성질을 살펴보기로 하자 우선 우리가 잘 알고 있는 나눗셈 정리를 증명하여 보자 ., . 앞으로 정수 전체의 집합은 , , 양의 정수 전체의 집합은 으로 표시하기로 한다. 나눗셈 정리_ 임의로 주어진 양의 정수 와 정수 에 대하여     ≦＜ 를 만족시키는 정수 와 가 유일하게 존재한다. | | 증명 집합      ∈   ≧ 을 생각하자. 집합 는 공집합이 아니고  ⊂  ∪이므로 에는 가장 작은 원소가 존재한다 그 원소를 . 라 하면 는  에 속하므로 적당한 정수 에 대하여     의 꼴로 표시된다. 즉,    이고 ≧이다. 만약, ≧라 가정하면       ≧이므로    ∈이다. 그러나      이므로 가 의 가장 작은 원소라는 사실에 모순이다. - 10 - 따라서,   이다. 이제, 의 유일성을 보이자. 정수 과 이     ≦  를 만족시킨다고 하자. 그러면     로부터      이다. 만약,  ≠ 라고 하면  ≦   ∙      가 되어 모순이다. 그러므로   이고   이다. 따라서, 와 는 유일하게 존재한다 증명끝 . >> 이때, 와 를 각각 를 로 나눈 몫과 나머지라고 부른다 또 두 정수 . , , 에 대하여 가 를 나눈다고 하 는 것은   를 만족시키는 정수 가 존재할 때를 말하며 기호 ,    로 나타낸다 이때 . , 를 의 배수, 를 의 약수라고 한다. 가 를 나누지 않을 경우는 기호 ∤  로 나타낸다. 보기     ∤  모든 이 아닌 정수 0 에 대하여 ∤ , 모든 정수 에 대하여   이다. 0이 아닌 정수 에 대하여  는 를 로 나눈 나머지가 이라는 것과 동치인 것을 쉽게 알 수 있다 0 . 약수와 배수에 관한 가장 기본적인 성질은 다음과 같다. 약수와 배수의 기본 성질_ 임의의 정수 에 대하여 [1] ±1은 의 약수이며, 는 ±의 약수이다. [2] 가 의 약수이면 1 ,  ± 이다. [3] 가 의 약수이고 가 의 약수이면, 는 의 약수이다. [4] 가 의 약수이고 가 의 약수이면, 는 의 약수이다. [5] 가 의 약수이고 가 의 약수이면,  ± 이다. [6] 가 의 약수이고 ≠이면,  ≦  이다. [7] 가 와 의 약수이면 임의의 정수 , 에 대하여 는   의 약수이다. - 11 - | | 증명 [1]   ∙   ∙  이므로 은 ±1 의 약수이다. [2] 가 의 약수이므로 1   인 정수 가 존재한다. 따라서,      또는     이다. [3] 가 의 약수이므로   인 가 존재하고 가 의 약수이므로   인 가 존재한다 따라서 . ,   이다 즉. , 는 의 약수이다. [4] 가 의 약수이므로   인 가 존재하고 가 의 약수이므로   인 가 존재한다 따라서 . ,     이다 즉. , 는 의 약수이다. [5] 가 의 약수이므로   인 가 존재하고 가 의 약수이므로   인 가 존재한다 따라서 . ,        이다 그러므로 .   이다 따라서 . ,      또는     이다 즉 . ,  ± 이 다. [6] 가 의 약수이므로   인 가 존재하며, ≠이므로 ≠이다. 따라서,    이고  ≧ 이므로   ≧  이다. [7] 가 의 약수이므로   인 가 존재하며 는 의 약수이므로   인 가 존재한다 따라서 임 . , 의의  에 대하여             이므로 는    의 약수이다. >> 증명끝 예제 1 임의의 홀수 에 대하여    임을 증명하여라. | | 증명    꼴이므로                 이다. 한편, 와  중 하나는 짝수이므로  은 의 배수이다 증명끝 8 . >> 따라서 모든 홀수의 제곱은 로 나누어 이 남고 모든 짝수의 제곱은 의 배수이다 이러한 성질들은 자명 , 4 1, 4 . 하지만 매우 유용하다. 문제 1 다음을 증명하여라. ⑴ 4 3 로 나누어 이 남는 양의 정수는 두 정수의 제곱의 합이 될 수 없음을 증명하여라. ⑵ 87 .