[고등 수학] 기하와 벡터 공식 요약집

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기하와 벡터-공식 요약집.pdf

S ssam' Top 수학 http://blog.daum.net/istiger 제 1 과 일차변환과 행렬 시험에서는 이런 부분을 준비하자 ․ 일차변환과 행렬의 관계, 여러 가지 변환, 일차변환의 성질을 이용해서 문 제를 해결할 수 있어야 한다. ․ 일차변환과 수열이 결합된 문제를 풀 수 있어야 한다. ․ 합성변환과 역변환을 이용하여 도형을 변환하는 문제를 해결할 수 있도록 한다. 일차 변환 좌표평면 위의 점  를 점 ′ ′에 대응시키는 변환   →′′에서 ′  ′ 이 상수항이 없는  에 대한 일차식 ′     ′     는상수로 나타내어질 때, 이 변환 를 일차 변환이라 한다. 일차변환의 행렬 표시 일차변환 를 나타내는 식은 행렬을 사용하여 ′     ′     ⇔  ′ ′            로 나타낼 수 있다. 이때 행렬       를 일차변환 를 나타내는 행렬 또는 일차변환 의 행렬이라 한다. 일차변환의 성질 일차변환 와 임의의 × 행렬     에 대하여 (1)               (2)    단는실수 (3)               단 는실수 항등변환 좌표평면 위의 점  를 자기 자신으로 옮기는 일차변환    → 를 항등변환이라 한다. 이때 항등변환의 행렬은       이다. 대칭변환(1) 좌표평면 위에서 한 점을 직선 또는 점에 대하여 대칭이동하는 변환을 대칭변환이라고 한다. 고1에서 배운 축, 축, 원점, 직선   , 직 선   에 대한 대칭이동과 일차변환과의 관계는 다음과 같다. ⑴ 축에 대한 대칭변환  ′    ′    ⟺        ⑵ 축에 대한 대칭변환  ′    ′  ⟺        ⑶ 원점에 대한 대칭변환  ′    ′    ⟺         ⑷ 직선   에 대한 대칭변환  ′    ′   ⟺       ⑸ 직선  에 대한 대칭변환  ′     ′    ⟺         닮음변환 원점을 중심으로 하고 닮음비가 인 닮음변환의 행렬은       (단, 는 이 아닌 실수) 회전변환 원점을 중심으로 각  만큼 회전하는 회전변환의 행렬은   cos  sin sin cos 합성변환 두 일차변환  의 행렬을 각각  라 하면 (1). 와 의 합성변환 ∘도 일차변환이다. (2). 합성변환 ∘의 행렬은 이다. 일차변환의 역변환 (1). 일차변환    →′ ′에 대하여 점 ′ ′을 점  로 옮기는 변환을 의 역변환이라 하고   로 나타낸다. 즉,    ′ ′→ (2). 일차변환 를 나타내는 행렬이 일 때, 행렬 의 역행렬   가 존재하면 의 역변환   를 나타내는 행렬은   이다. (3).   가 존재하지 않으면 의 역변환은 존재하지 않는다. 역변환의 성질 세 일차변환  g 의 역변환이 각각 존재할 때, ① ∘ g    g  ∘    g∘       ∘ g  ②       ③ ∘      ∘   (단, 는 항등변환) ④ ∘ g   ⇐⇒   ∘ g  ⇐⇒g    ∘  일차변환의 도형 일차변환  의 행렬  에 대하여 (1)   가 존재할 때 ① 좌표평면은 좌표평면으로 옮겨진다. ② 직선은 직선으로 옮겨진다. (2)   가 존재하지 않을 때 ① 좌표평면은 원점을 지나는 직선으로 옮겨진다. ② 직선은 한점 또는 원점을 지나는 직선으로 옮겨진다. 제 2 과 이 차 곡 선 시험에서는 이런 부분을 준비하자 ․ 이차곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 구하는 문제가 출제되었다. ․ 이차곡선의 정의와 방정식을 이해하고 곡선과 직선의 위치 관계를 파악하는 문제가 출제 되었다. ․ 포물선의 성질을 증명하는 문제가 출제되었다. ․ 실생활에 응용된 이차곡선을 이해하고 정의와 성질을 이용하여 해결하는 문 제가 이차곡선에서 고루 출제되었다. 포물선의 정의 및 방정식 [Ⅰ] 평면 위의 한 정점과 이 점을 지나지 않는 한 정직선에 이르는 거 리가 같은 점은 자취 [Ⅱ] 에서 ① 초점 : ② 준선의 방정식 : ③ 꼭지점 : [Ⅲ] 에서 ① 초점 : ② 준선의 방정식 : ③ 꼭지점 : S ssam' Top 수학 http://blog.daum.net/istiger 포물선의 접선의 방정식 [Ⅰ] 에서 ①기울기 인 접선의 방정식 ： ②포물선 위의점 에서의 접선의 방정식 [Ⅱ] 에서 ①기울기 인 접선의 방정식 ： ②포물선 위의점 에서의 접선의 방정식 이차곡선과 직선과의 관계 직선을 이차곡선에 대입하여 정리하면 이차방정식이 된다 [Ⅰ] ⇒ 서로 다른 두 점에서 만난다. [Ⅱ] ⇒ 한 점에서 만난다. ⇒ 접한다. [Ⅲ] ⇒ 만나지 않는다. 타원의 정의 및 방정식 [Ⅰ] 평면 위의 두 정점에서의 거리의 합이 일정한 점들의 자취 [Ⅱ] ( ) ① 장축의 길이(=거리의 합) :     ′   ② 단축의 길이 : ③ 초점 : 단 [Ⅲ] ( ) ① 장축의 길이(거리의 합) :     ′   ② 단축의 길이 : ③ 초점 : 단 타원의 접선의 방정식 [Ⅰ]기울기 인 접선의 방정식 [Ⅱ]타원 위의 점 에서의 접선의 방정식 쌍곡선의 정의 및 방정식 [Ⅰ] 평면 위의 두 정점에서의 거리의 차가 일정한 점들의 자취 [Ⅱ] ( ) ① 주축의 길이(거리의 차) : ∣    ′∣   ② 초점 : 단 ③ 점근선 : [Ⅲ] ( ) ① 주축의 길이(거리의 차) : ∣    ′∣   ② 초점 :      단          ③ 점근선 : 쌍곡선의 접선의 방정식 [Ⅰ] 쌍곡선 에서 ① 기울기 인 접선의 방정식 : ② 쌍곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식 [Ⅱ] 쌍곡선 에서 ①기울기 인 접선의 방정식 : ②쌍곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식 이차곡선의 일반형 이차곡선의 일반형 에서 ① 이면 원 ② 이면 포물선 ③ 이면 타원 ④ 이면 쌍곡선 제 3 과 공간도형과 공간좌표 시험에서는 이런 부분을 준비하자 ․ 교과서에 나오는 기본 공식을 완전히 암기하고 이해해야 한다. ․ 직선, 평면의 위치관계가 이해하는 것이 중요하며, 정사영의 문제는 출제가 능성이 매우 높다. ․ 공간도형의 위치 관계가 증명문제로 출제 될 가능성이 높다. ․ 실생활의 문제에 공간좌표를 도입하여 해결하는 문제가 출제될 가능성이 있 다. 주어진 문장과 조건을 식으로 표현하고 좌표평면 위에 도형으로 나타내 는 연습을 해 두어야 한다. ․ 직선과 직선, 직선과 평면, 평면과 평면의 위치 관계의 풀이법은 정의 이용 하기, 정사영 이용하기, 벡터 이용하기, 공간 좌표를 이용한 직선과 평면의 방정식 도입하기 등의 기법을 사용한다. 삼수선의 정리 평면  위의 직선을 라 하고,  위에 있지 않는 한 점을 라 할 때, [Ⅰ] 점 에서 평면  와 직선 에 내린 수선의 발을 각각   이라 하면,   ⊥  [Ⅱ] 점 에서 평면  에 내린 수선을  이라 하고, 점 에서 직선 에 내린 수선을   이라 하면,   ⊥  [Ⅲ] 점 에서 직선  에 내린 수선을   이라 하고, 평면 α 에서 점 을 지나 직선 에 수직인 직선 를 그을 때, 점 에서 직선 에 수선   을 내리면   ⊥  S ssam' Top 수학 http://blog.daum.net/istiger 정사영 [Ⅰ] 선분   의 평면  위에의 정사영을  ′ ′ 라 하고, 직선    와  가 이루는 각의 크기를  라 하면  ′ ′   cos [Ⅱ] 평면 와의 이면각의 크기       인 평면  위에 있는 도형 의 넓이를 라 하고, 도형 의 평면  위의 정사영  의 넓이를  이라 하면    cos이다. 두 점 사이의 거리 두 점             사이의 거리                    특히, 원점 와 점    사이의 거리는            선분의 내분점, 외분점, 무게중심            ,     에서 선분 를   으로 [Ⅰ] 내분하는 점의 좌표는,                        [Ⅱ] 외분하는 점의 좌표는                        [Ⅲ] 중점 의 좌표는               [Ⅳ] ∆ 의 무게중심 의 좌표는 제 7 과 벡 터 시험에서는 이런 부분을 준비하자 ․ 내적의 기본적인 내용이 출제되므로 기초적인 내용을 확인해 두어야 한다. ․ 직선의 방정식, 평면의 방정식을 중심으로 공부를 해야 하며, 특히 내적의 성질이 활용되는 부분은 많은 관심을 기울여야 한다. ․ 벡터를 도형에 활용한 증명 문제가 출제될 가능성이 높다. 따라서 내분점 등에 관련지어 도형문제에 관련된 문제를 중심으로 공부해야 한다. ․ 내적에 관련된 문제 해결 문제는 난이도가 높아 출제될 가능성이 낮으나 기 본적인 여러 단원과 융합된 문제를 중심으로 공부해야 한다. ․ 벡터는 그 내용이 방대하여 학생들이 공부하는데 어려움이 많다. 그러므로 우선 벡터 내용의 흐름을 파악하는데 주력해야 한다. ․ 벡터의 기하학적 연산, 성분을 이용한 벡터의 연산, 벡터의 내적의 기하학 적 의미와 성분의 계산, 직선의 방정식에의 활용, 직선과 직선이 이루는 각, 평면의 방정식에의 활용, 직선과 평면, 평면과 평면이 이루는 각, 점과 평면 사이의 거리의 공식을 중심으로 공부해야 한다. 58. 벡터의 뜻 [Ⅰ] 크기만 갖는 양을 스칼라, 크기와 방향을 갖는 양을 벡터라고 한다. [Ⅱ] 점 에서 점 로 향하는 방향이 주어진 선분 로 나타내어 진 벡터를 기호로  와 같이 나타내고, 점 를 시점 점 를 종점이라고 한다. [Ⅲ] 선분 의 길이를 벡터  의 크기라 하고, 기호로 ∣ ∣ 와 같이 나타낸다. [Ⅳ] 크기가 1인 벡터를 단위벡터라고 한다. 두 벡터가 서로 같을 조건 두 벡터    에서 그 크기와 방향이 모두 같을 때, 이 두 벡터는 같다고 하고,     로 나타낸다. 영벡터, 역벡터 [Ⅰ] 영벡터 : 크기가 인 벡터        ⋯ [Ⅱ] 역벡터 : 벡터  와 크기는 같고, 방향이 반대 인 벡터 (  로 나타냄)     ⇒      벡터의 덧셈의 성질 [Ⅰ]            (교환법칙) [Ⅱ]                   (결합법칙) 삼각형의 무게중심 삼각형 의 무게중심을 라 하고, 그 평면 위의 한 점을  라 하면 [Ⅰ]               [Ⅱ]            벡터의 연산 법칙 [Ⅰ]             [Ⅱ]          [Ⅲ]         [Ⅳ]        [Ⅴ] ⋅    ⋅    벡터의 평행조건 [Ⅰ]   ≠      ≠    ≠  일 때       ⇔      [Ⅱ] 서로 다른 세 점   가 한 직선에 존재 ⇔     ⇔     벡터와 실수와의 곱 서로 다른 세 점 A, B, C의 위치벡터를 각각 라 할 때, 세 점 A, B, C가 일직선 위에 있기 위한 필요충분조건은                 인 실수 가 존재하는 것이다. 내분점의 위치벡터 선분   를    ＞  ＞   으로 내분, 외분하는 점을 각 가  라 하고, 점    의 위치벡터를 각각         라 고 하면,            ,              평면벡터의 성분          ,     ⇔     에서             일 때, [Ⅰ]     ⇔        [Ⅱ]            [Ⅲ]       [Ⅳ]             [Ⅴ]             S ssam' Top 수학 http://blog.daum.net/istiger 공간벡터의 성분         ,     ⇔      에서               일 때, [Ⅰ]     ⇔            [Ⅱ]               [Ⅲ]         [Ⅳ]                 [Ⅴ]                 단위벡터의 성분     가 영벡터가 아닐 때,  와 같은 방향의 단위 벡터를  라 하면,    ∣ ∣    ∣ ∣   벡터의 내적 두 벡터  와   가 이루는 각이  ≤≤ 일 때, [Ⅰ] 벡터의 내적 :   ㆍ            [Ⅱ]①             일 때   ㆍ      ②                 일 때 　   ㆍ        [Ⅲ] 두 벡터가 이루는 각 : ① cos             ㆍ                   ② cosθ             ㆍ                            내적의 기본 성질 [Ⅰ]  ⋅     ⋅ (교환법칙) [Ⅱ]    ⋅   ⋅      ⋅   (단, 는 실수) [Ⅲ]  ⋅  ±     ⋅  ±  ⋅  (배분법칙,복호동순) [Ⅳ]  ⋅  ∣ ∣ 수직․평행조건 ( ≠     ≠  ) [Ⅰ] 두 벡터의 수직 조건 :  ⊥   ⋅     [Ⅱ] 두 벡터의 평행 조건 :       ⋅  ±       ⇔     (≠실수) 공간벡터의 방향코사인 영벡터가 아닌 공간벡터      가 축,축,축의 양의 방향 과 이루는 각을 각각    라 하면 [Ⅰ]     cos     cos     cos ⇔     cos cos cos [Ⅱ]  와 같은 방향의 단위벡터는 ⇒ cos cos cos                  [Ⅲ] 방향코사인 ⇒ cos cos cos [Ⅳ]방향코사인 ⇒ α β γ [Ⅴ]방향비 ⇒ cos  cos  cos       직선의 벡터방정식 (1) [Ⅰ] 점  를 지나고, 방향벡터가    인 직선의 방정식은                 [Ⅱ] 원점 에 관한 점의 위치벡터를   라 할 때, 벡터  와 평행한 직선의 방정식은        (단,  는 실수) 직선의 벡터방정식 (2) 원점 에 관한 두 점 의 위치벡터를 각각     라 할 때, 두 점  를 지나는 직선의 벡터방정식은          (단,  는 실수) 직선의 매개변수 방정식 [Ⅰ] 직선                 위의 임의의 점은                   에서                으로 놓는다. 두 직선의 위치 관계 방향벡터가 각각    인 두 직선   에서 [Ⅰ] ⇔            [Ⅱ]   이 이루는 예각의 크기를  라 하면, cos                    ∣    ∣ [Ⅲ]  ⊥ ⇔        평면의 방정식 (1) 점   를 지나고  아닌 벡터      에 수직인 평 면의 방정식은              평면과 직선의 평행 ․ 수직 직선  의 방향벡터가   , 평면 의 법선벡터가   일 때, [Ⅰ] ⇔  ⊥  ⇔  ∙    ⇔      [Ⅱ]⊥ ⇔    ⇔     ⇔  (단, 는실수) 두 평면이 이루는 각 두 평면         ,         이 이루 는 예각의 크기를 라 하면, cos                     ∣    ∣ 평면과 직선이 이루는 각 평면            과 직선 이 이루 는 예각의 크기를 라 하면 cos       sin                     ∣    ∣ 평면과 점과의 거리 평면            와 점 P  사이의 거리  은                     S ssam' Top 수학 http://blog.daum.net/istiger 구의 벡터방정식 점 를 중심으로 하고, 반지름이  인 구의 벡터방정식은     ⋅      