[2025학년도 6월 모평] 12번 사각형의 넓이 [해설 및 해제]

2025학년도 6월 모의평가 수학에서 출제된 제시문 기반 문제를 풀이하고, 사각형 ABCDABCD의 넓이를 구하는 과정을 단계별로 설명하겠습니다.

문제의 핵심 조건

1. 곡선 y=1−2−xy=1−2−x와 y=2−xy=2−x의 교점에서 출발하는 사각형 ABCDABCD를 구성합니다.
2. 점 A(a,1−2−a)A(a,1−2−a)를 기준으로, B,C,DB,C,D의 좌표를 구해야 합니다.
3. 주어진 조건에 따라 AB=2CDAB=2CD이며, 이를 활용해 사각형의 좌표를 찾고 넓이를 계산합니다.

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풀이 과정

1. 점 AA, BB의 좌표 구하기

곡선 y=1−2−xy=1−2−x와 y=2−xy=2−x의 교점을 찾습니다.

1−2−x=2−x  ⟹  2⋅2−x=1  ⟹  2−x=12  ⟹  x=1.1−2−x=2−x⟹2⋅2−x=1⟹2−x=21​⟹x=1.

따라서 a=1a=1, 점 AA의 좌표는 A(1,1−2−1)=(1,12)A(1,1−2−1)=(1,21​)입니다.

2. 점 C,DC,D의 좌표 구하기

AA에서 xx-축에 평행한 직선이 y=2−xy=2−x와 만나는 점 CC는 다음과 같습니다.

C(c,2−a)  ⟹  C(c,2−1)=C(c,12).C(c,2−a)⟹C(c,2−1)=C(c,21​).

점 DD는 CC에서 yy-축에 평행한 직선이 y=1−2−xy=1−2−x와 만나는 점으로,

D(c,1−2−c).D(c,1−2−c).3. 조건 AB=2CDAB=2CD 적용

• AB=2−a=2−1=12AB=2−a=2−1=21​.
• CD=(1−2−c)−2−aCD=(1−2−c)−2−a.
  조건 AB=2CDAB=2CD를 대입하면:

12=2[1−2−c−12].21​=2[1−2−c−21​].12=2⋅(1−12−2−c)  ⟹  12=1−2−c.21​=2⋅(1−21​−2−c)⟹21​=1−2−c.2−c=12  ⟹  c=log⁡23.2−c=21​⟹c=log2​3.4. 사각형의 넓이 계산

사각형 ABCDABCD의 넓이는 다음과 같습니다.

넓이=12×(a−c)×(2−a+1−2−c).넓이=21​×(a−c)×(2−a+1−2−c).a=1,c=log⁡23,2−a=12,2−c=23.a=1,c=log2​3,2−a=21​,2−c=32​.

계산하면:

넓이=12×(1−log⁡23)×(12+1−23).넓이=21​×(1−log2​3)×(21​+1−32​).=12×(1−log⁡23)×76.=21​×(1−log2​3)×67​.=712×(2log⁡23−1)=72log⁡23−74.=127​×(2log2​3−1)=27​log2​3−47​.

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정답 및 결론

최종적으로, 사각형 ABCDABCD의 넓이는

72log⁡23−7427​log2​3−47​​

입니다. 이는 선택지 중 ③번에 해당합니다.

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해설 요약

• 곡선의 교점을 기반으로 사각형의 각 점을 정의했습니다.
• AB=2CDAB=2CD라는 조건을 활용해 cc를 구하고, 이를 통해 사각형의 넓이를 계산했습니다.
• 이 문제는 지수 함수의 성질과 기하적 조건을 복합적으로 활용하여 푸는 고난도 문제로, 수능 대비에서 중요한 연습 문제입니다.