2025학년도 수능 수학 영역에서 21번 문제는 극한의 존재 조건과 삼차 함수의 구조를 활용한 문제로, 고난도 문항 중 하나로 평가되었습니다. 이 문제는 삼차 함수 f(x)=x3+ax2+bx+4f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 4에 대한 주어진 극한 조건을 통해 미정계수 aa와 bb를 구하고, 이를 바탕으로 함수 값 f(1)f(1)의 최소값을 찾는 과정을 요구했습니다.
풀이 과정
1. 극한 조건 해석
주어진 극한 조건이 성립하려면 f(2x+1)f(2x+1)과 f(x)f(x)의 차수와 구조가 일정한 관계를 가져야 합니다. 이를 바탕으로 다음과 같이 분석합니다.
- f(x)=x3+ax2+bx+4f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 4
- f(2x+1)f(2x+1)을 전개하여 f(x)f(x)와 비교:f(2x+1)=(2x+1)3+a(2x+1)2+b(2x+1)+4f(2x+1) = (2x+1)^3 + a(2x+1)^2 + b(2x+1) + 4각 항을 전개하면,(2x+1)3=8x3+12x2+6x+1(2x+1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 a(2x+1)2=a(4x2+4x+1)=4ax2+4ax+aa(2x+1)^2 = a(4x^2 + 4x + 1) = 4ax^2 + 4ax + a b(2x+1)=2bx+bb(2x+1) = 2bx + b따라서,f(2x+1)=8x3+(12+4a)x2+(6+4a+2b)x+(1+a+b+4)f(2x+1) = 8x^3 + (12 + 4a)x^2 + (6 + 4a + 2b)x + (1 + a + b + 4)f(x)f(x)와 비교했을 때, 극한 조건이 성립하려면 차수별 계수 간의 관계가 일정해야 합니다.
2. 방정식의 근을 활용한 구조 분석
f(x)=x3+ax2+bx+4f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 4의 극한 조건을 만족하려면, f(x)=0f(x) = 0이 x=−1x = -1에서 중근(또는 네 개의 서로 다른 실근)을 가져야 합니다. 이를 바탕으로 f(x)f(x)를 다음과 같이 분해할 수 있습니다:
f(x)=(x+1)(x2+(a−1)x+4)f(x) = (x+1)(x^2 + (a-1)x + 4)
이때, x2+(a−1)x+4=0x^2 + (a-1)x + 4 = 0이 실근을 가지지 않아야 하기 때문에, 이 방정식의 판별식 DD가 음수여야 합니다.
3. 판별식을 통한 aa의 범위
이차방정식 x2+(a−1)x+4=0x^2 + (a-1)x + 4 = 0의 판별식 DD는 다음과 같습니다:
D=(a−1)2−16D = (a-1)^2 - 16
여기서 D<0D < 0이어야 하므로,
(a−1)2<16(a-1)^2 < 16 −4<a−1<4-4 < a-1 < 4 −3<a<5-3 < a < 5
4. bb의 관계
b=a+3b = a + 3임을 이용합니다. 이는 방정식 f(x)=0f(x) = 0의 상수항 조건 f(−1)=0f(-1) = 0에서 도출됩니다:
f(−1)=(−1)3+a(−1)2+b(−1)+4=0f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + 4 = 0 −1+a−b+4=0⇒b=a+3-1 + a - b + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad b = a + 3
5. f(1)f(1) 최소값 계산
이제 f(x)=(x+1)(x2+(a−1)x+4)f(x) = (x+1)(x^2 + (a-1)x + 4)를 이용하여 f(1)f(1)을 계산합니다:
f(1)=13+a(12)+b(1)+4f(1) = 1^3 + a(1^2) + b(1) + 4 f(1)=1+a+(a+3)+4=2a+8f(1) = 1 + a + (a+3) + 4 = 2a + 8
aa의 범위는 −3<a<5-3 < a < 5이며, f(1)f(1)이 최소가 되는 값은 a=4a = 4일 때입니다. 따라서,
f(1)=2(4)+8=16f(1) = 2(4) + 8 = 16
최종 답
f(1)f(1)의 최소값은 16입니다.
풀이 요약
- 함수의 극한 조건을 통해 f(x)f(x)의 구조를 f(x)=(x+1)(x2+(a−1)x+4)f(x) = (x+1)(x^2 + (a-1)x + 4)로 분해.
- 판별식을 활용하여 aa의 범위를 −3<a<5-3 < a < 5로 제한.
- f(1)f(1)의 최소값을 계산하여 f(1)=16f(1) = 16을 도출.